二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材知識(shí)體系

海口市秀英區(qū)農(nóng)場(chǎng)小學(xué)黃梅

1、加減連減應(yīng)用題

一、解決問題:

2、乘加應(yīng)用題

1、除法的初步認(rèn)識(shí)

二、表內(nèi)除法（一）：2、用2---6的乘法口訣求商

3、除法應(yīng)用題

1、銳角和鈍角

三、圖形與變換：

2、平移和旋轉(zhuǎn)

1、用7---9的乘法口訣求商

四、表內(nèi)除法（二）：2、解決問題

3、整理與復(fù)習(xí)

1、1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

五、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)：2、10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

3、整百、整千數(shù)的認(rèn)識(shí)

六、克和千克：可和千克的初步認(rèn)識(shí)

1、兩位數(shù)加減兩位數(shù)（口算）

2、幾十、幾百的加減法

七、萬以內(nèi)的加法和減法:

3、整理和復(fù)習(xí)

4、有多重

1、簡單的復(fù)式統(tǒng)計(jì)表

八、統(tǒng)計(jì)：

2、簡單的統(tǒng)計(jì)表

九、找規(guī)律

1、表內(nèi)除法

2、萬以內(nèi)數(shù)的讀法

3、萬以內(nèi)的加減法

十、總復(fù)習(xí):4、克和千克及圖形變換

5、解決問題

6、統(tǒng)計(jì)和找規(guī)律

數(shù)學(xué),知識(shí)

篇2:深度研讀數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)有效數(shù)學(xué)活動(dòng)

深度研讀數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)有效數(shù)學(xué)活動(dòng)

《圓的認(rèn)識(shí)》是一節(jié)較難把握的課，對(duì)于此節(jié)課，恐怕在所有教師的心里都有兩座不可逾越的大山。如果張齊華的《圓的認(rèn)識(shí)》讓我們領(lǐng)略的是數(shù)學(xué)和文化水乳交融的美，那么華應(yīng)龍的《圓的認(rèn)識(shí)》則是讓我們體會(huì)到大器天成、大巧若拙的數(shù)學(xué)思想方法。如何突破？我想根據(jù)教材設(shè)計(jì)有效數(shù)學(xué)活動(dòng)，利用學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突破重難點(diǎn)，讓學(xué)生自主構(gòu)建對(duì)圓知識(shí)的個(gè)性化理解，或許是個(gè)選擇。

學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變化，要求我們利用有效數(shù)學(xué)活動(dòng)，促成學(xué)生有效地學(xué)。新課程提倡學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，不再一味的被動(dòng)接受式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能真的發(fā)生。通過什么才能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真的發(fā)生呢？學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是關(guān)鍵。激趣和喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，能夠激活學(xué)生，能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自主走向深入。教材中，對(duì)比圓和以前學(xué)過的三角形、長方形等多邊形的異同，如果直接將此問題出示拋給學(xué)生，可能學(xué)生也能回答出教師想要的答案，也能基本符合此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的，但是這樣的呈現(xiàn)方式多少顯得有些無趣無味。在此設(shè)計(jì)快速摸圓的游戲環(huán)節(jié)，能夠使學(xué)生瞬間產(chǎn)生學(xué)習(xí)沖動(dòng)，熱情高漲，積極調(diào)動(dòng)對(duì)圓特征的已有認(rèn)識(shí)，從而更有效的達(dá)到教材此處的設(shè)計(jì)目的。

數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中的指向是積累經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的過程就要經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，在小學(xué)階段，尤其要從基本的活動(dòng)做起，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，設(shè)計(jì)了兩次畫圓的活動(dòng)。首先，利用教師提供的材料，合理的創(chuàng)作一個(gè)圓。利用這一環(huán)節(jié)的活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生自己選擇畫圓方式，使學(xué)生體會(huì)到可以怎樣畫圓，也能在畫圓的活動(dòng)過程中凸顯出圓的特征，利用學(xué)生的匯報(bào)，教師的“線可以畫圓，圓規(guī)可以畫圓，有什么相同之處？”，引導(dǎo)學(xué)生在自主畫圓中初步感知圓的基本特征，體會(huì)畫圓的一般方法；其次，全體學(xué)生使用圓規(guī)畫圓。再次畫圓的活動(dòng)設(shè)計(jì)，是為了服務(wù)于認(rèn)識(shí)圓的各部分名稱和如何使用圓規(guī)，學(xué)生在此就能更有效體會(huì)畫圓時(shí)定點(diǎn)作用的圓心，兩腳之間距離的長度不變的半徑和直徑。

學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的自主構(gòu)建，離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，離不開有效地?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成于具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，活動(dòng)當(dāng)然得“動(dòng)”起來，眼動(dòng)、手動(dòng)和腦動(dòng)，讓學(xué)生通過探究、思考、抽象、猜測(cè)、推理、反思等過程，將學(xué)生活動(dòng)時(shí)的經(jīng)歷、體驗(yàn)、感覺上升為學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，個(gè)性的轉(zhuǎn)化和構(gòu)建屬于自己的知識(shí)體系。

篇3:新課標(biāo)培訓(xùn)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)新教材15個(gè)疑難知識(shí)點(diǎn)解析

隨著課程改革的不斷深入，新課程理念已為越來越多的一線數(shù)學(xué)教師所接受。對(duì)處于微觀知識(shí)層面的一些現(xiàn)實(shí)性“詰問”，諸如“最小的一位數(shù)是0還是1？”、“為什么0也是自然數(shù)？”、“最大的分?jǐn)?shù)單位是多少？”、“計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？”……等等，看似“細(xì)節(jié)”的問題，卻是彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)“科學(xué)性”“嚴(yán)謹(jǐn)性”不可或缺的一環(huán)，處理不好可能直接影響到教學(xué)評(píng)估和考試命題。

1、最小的一位數(shù)是0還是1？

這個(gè)問題在很長一段時(shí)間存在爭論。先來看看《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書》第98頁“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。

再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對(duì)“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個(gè)數(shù)字（其中左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)……所以，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字），這個(gè)數(shù)就叫幾位數(shù)。

于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個(gè)，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。

０不是最小的一位數(shù)。

２、為什么0也是自然數(shù)?

課標(biāo)教材對(duì)“０也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。

于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認(rèn)為自然數(shù)從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認(rèn)為0不是自然數(shù)。2000年教育部主持召開教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。

從教學(xué)實(shí)踐層面來說，將“０”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。

2.1“0”作為自然數(shù)的“好處”。

眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個(gè)元素的集合，像某班學(xué)生的集合。無限集合是含有的元素個(gè)數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個(gè)數(shù)是很自然的。

但在有限集合中，有一個(gè)最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個(gè)數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個(gè)數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個(gè)數(shù)”的任務(wù)了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。

2.2把“0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響自然數(shù)的“運(yùn)算功能”。

“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。

所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時(shí)也讓我們意識(shí)到教學(xué)時(shí)不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。

3、什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字？

有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個(gè)近似數(shù)如果在取舍時(shí)，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這時(shí)，從左邊第一個(gè)非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0．００３０９有三個(gè)有效數(shù)字：３、０、９；０．５２０也有三個(gè)有效數(shù)字：５、２、０。而０．００３０９中左邊的三個(gè)零，０．５２０中左邊的一個(gè)零，都叫做無效數(shù)字。

４、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？

“加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例如：

加法“２＋３＝５”，其逆算為“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，加法的逆運(yùn)算只有減法；

減法“５－２＝３”，其逆算有“５－３＝２”，“２＋３＝５”。故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。

綜上可知，只能說減法是加法的逆運(yùn)算，而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。

同理，也只能說除法是乘法的逆運(yùn)算，而不能說乘法與除法互為逆運(yùn)算。

5、為什么不寫“倍”？

在學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時(shí)，很多小朋友會(huì)自然提出這樣的疑問，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷3＝4”的后面不寫“倍”呢？

我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識(shí)）。但同時(shí)又該對(duì)學(xué)生說明：在解答應(yīng)用題時(shí)，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱。如：12只的“只”；8克的“克”。一個(gè)數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)算結(jié)果“4”，表示12里面有4個(gè)3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。

6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別

在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識(shí)”，認(rèn)識(shí)了概念“倍”，而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個(gè)概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個(gè)詞到底是不是一回事呢？這兩個(gè)詞之間有什么區(qū)別呢？

“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有10人，女生有30人，因?yàn)椤?0×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3倍，也可以說，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說，“倍”其實(shí)表示的是兩個(gè)數(shù)的商（這個(gè)商可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式）。

“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)。可見，“倍數(shù)”是不能獨(dú)立存在的（具有特定的指向性），而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。

同時(shí)我們又看到，30也是6的5倍，因?yàn)?×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個(gè)角度來說，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。

7、“時(shí)”和“小時(shí)”有什么不同？怎樣使用“時(shí)”和“小時(shí)”？

首先應(yīng)該明確的是，〔小〕時(shí)并非國際時(shí)間單位。在1984年國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于我國統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令》中，把秒作為時(shí)間的基本單位，把非國際單位制的時(shí)間單位天（日）、〔小〕時(shí)、分作為輔助單位。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時(shí)間單位就有：天（日）、〔小〕時(shí)、分、秒。

由此，“時(shí)”既可以表示時(shí)間，又可以表示時(shí)刻。由于“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單位“時(shí)”時(shí)，現(xiàn)行教材作了如下處理：

7．1當(dāng)列式計(jì)算出時(shí)間的長短時(shí)，在得數(shù)的括號(hào)里寫上時(shí)間的單位“時(shí)”。例如：

超市營業(yè)時(shí)間：21-9=12（時(shí)）。（此處可省略“小”字）

7．2在用語言表述時(shí)間的長短時(shí)，為避免“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆，則在“時(shí)”的前面加上一個(gè)“小”字。例如：

超市營業(yè)時(shí)間12小時(shí)。

7．3在用語言表示時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小時(shí)”字樣。例如：

公園每天早上7時(shí)30分開園（而非7小時(shí)30分）。

8、“改寫”和“省略”是一樣的嗎？

先來看的教材例題截圖（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)22頁）。

從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對(duì)數(shù)的變化置于了同一個(gè)要求之下（即改寫成用“億”作單位的數(shù)）。我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)椤案膶憽迸c“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：

8.1目的不同。“改寫”的目的是方便對(duì)大數(shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。

8.2方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個(gè)“億”字，而“省略”除了要找準(zhǔn)“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。

8.3符號(hào)不同。“改寫”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號(hào)連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接。

9、“路程”就是“距離”嗎？

這兩個(gè)詞在許多老師的教學(xué)語言中是替代使用的，其實(shí)不然。

“路程”是指從一個(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所經(jīng)過路線的長度；而“距離”則指連接兩個(gè)地點(diǎn)而成的直線段的長度。如下圖：

可以看到，“路程”所經(jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下，兩個(gè)地點(diǎn)之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當(dāng)兩個(gè)地點(diǎn)之間的路線為直線時(shí)，路程和距離才相等。

雖然老師們都知道這個(gè)等式是成立的,但我們的學(xué)生卻沒有相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學(xué)生所理解和接受的證明途徑，我想至少可以考慮幾下幾種方法：

10、最大的分?jǐn)?shù)單位是1/2還是1/1？

先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。

顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。因?yàn)榘褑挝弧?”平均分成的最少份數(shù)是2份（如果是1份，也就無所謂“分”），由此得到的分?jǐn)?shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分?jǐn)?shù)單位。

盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來說，1/1也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)對(duì)立的那種分?jǐn)?shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生），故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以1/2為宜。

11、像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)?

分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知，分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。從這個(gè)意義來說，以上這幾個(gè)數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。

進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)”涵義的理解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維并無多大實(shí)際意義，而且會(huì)令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。

12、比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“6+1/2”還是“6+（1+1/2）”？

要弄清這個(gè)問題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，此處的“6”其實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù)”，而非一個(gè)“量”，求“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。所以，這里的“1/2”是指在6的基礎(chǔ)上“多1/2”這個(gè)“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”。所以，“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“6+1/2”。

當(dāng)然，如果題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”，那答案則屬于后者。

13、計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？

先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)不同版本的教材對(duì)類似問題的理解。（截圖為相關(guān)例題的解答部分）

同一課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“××率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)／應(yīng)出勤人數(shù)，我們說這只是分?jǐn)?shù)形式（也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分?jǐn)?shù)。因此，在公式后面乘上“１００％”，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。因此，計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應(yīng)乘“１００％”。同時(shí)建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認(rèn)識(shí)上的混亂。

１4、小于９０度的角都是銳角嗎？

根據(jù)課標(biāo)教材定義：小于９０度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個(gè)新的問題：０度的角是什么角，也是銳角嗎？

事實(shí)是，銳角定義有一個(gè)隱含的前提，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都是正角。習(xí)慣上，我們把射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。

由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于０度而小于９０度的角叫做銳角。（建議教材作出修改）

１5、足球比賽記分牌上的“３